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等效电源定理

  等效电源定理 根据线性叠加定理,可以推导出两个十分有用的定理:等效电压源 定理和等效电流源定理。前者又称戴维宁定理(Thevenin’s theorem) 或代文宁定理,后者又称诺顿定理(Norton’s theorem)。 一、等效电压源定理 内容:任何一个线性有源单口网络,就其外部的电压电流关系而言, 总可以等效为一个恒压源和一个内阻相串联的电路。恒压源的电压 等于端口的开路电压UOC,等效内阻等于单口网络中全部独立电源为 零时端口的输入电阻RO。 说明:上述定理的内容可用图1的示意框图说明。 线性 有源 单口 网络 A i 任意 外部 网络 + – i RS=RO UOC 任意 外部 网络 图1 等效电压源定理示意说明 举例:求图2(a)所示电路流过负载的电流iL。 该电路端口ab向左是一个线性有源单口网络,向右负载RL可看作任 意的外部网络,可先断开负载,求出单口网络的戴维宁等效电路,然后 加上负载,再计算流过负载的电流iL。 (a) 图2 举例电路 (b) (1)求单口网络的开路电压UOC,如图2(c)所示: (c) (d) U OC ? R2 R1 ? R 2 US ? 2 2?2 ? 12 ? 6 (V ) (2)再求单口网络的等效内阻RO,这是要令网络内所有独立电源为零 (及恒压源短路,恒流源开路),如图2(d)所示,可得 R O ? R1 // R 2 ? R 3 ? 2 // 2 ? 1 ? 2 ( ? ) (3)由此可得线性单口网络的戴维宁等效电路,如图2(b)所示, 加上负载RL后,就可计算电流iL: iL ? U OC RO ? R L ? 6 2 ?1 ? 2( A) 强调: (1)所为等效是对外部的电流i和电压u而言,如果两个电路对外电 路作用的电压和电流相等,则这两个电路是等效的; (2)求单口网络的等效内阻时,要令网络中的所有独立电源为零, 其含义是恒压源短路,恒流源开路。 证明: 利用线性网络的叠加原理,根据端口电流电压不变的等效概念,可 将外部网络用一个iS=i的理想电流源等效代替,如图3(a)所示。显 然,替代后的电路仍然是线性电路,因此可用叠加原理计算端电压u (如图3(b)): U ? U ? ? U ?? 其中U’是网络中所有独立电源作用产生的电压分量,U”是由恒流 源i单独作用产生的电压分量。 a + U – b (a) 图3 等效电压源定理证明 i iS=i A 外部 网络 i=0 a + – b A u’=uoc + A中 所有 独立 元件 为零 a + U” – b RO i (b) i (b)图= RO + – UOC A (c) a + U – b i i = RO + – UOC A A (d) a + U – b 任意 外部 网络 图3 等效电压源定理证明 由图3(b),U’=UOC 所以 U”= –iRO U=U’+U”=UOC–iRO 对应的等效电路如图3(c)。最后把恒流源变会为原来的任意外部 网络,如图3(d) 应用: 在有些电路计算中,有时只要求出某一支路的电流或电压,这时如果 用基尔霍夫定律求解一般要列多个联立方程,计算过程比较麻烦。如 果多用戴维宁定理,计算则要简单一些,特别是分析某支路电阻的变 化对该支路电流或电压的影响时,用戴维宁定理更为方便。下边举例 加以说明。 [例1] 电路如图4所示,已知直流电源US,电阻R1、R2、R3、R4和检 流计G的内阻RG之值,求流过G的电流iG。 解:本图如果采用基尔霍夫定 律求 解,由于电路有6条支路,则需列出 6个独立方程。但因为只要求求一个 支路的电流,用等效电压源定理就 方便得多。为清楚起见,可将待求 支路(G)拉出,如图5(a)所示, 这是a,b端向左看是一个线性有源单 口网络。 (a) (b) (C) 图5 例1的解过程 (d) (1)求单口网络A的开路电压UOC,如图5(b),可得 U OC ? R2 R1 ? R 2 US ? R4 R3 ? R 4 US (2)求网络A的输入电阻RO,这时A内的一个恒压源US短路,得图 5(c),可得 RO=R1//R2+R3//R4 (3)用等效电压源替代,则图5(a)电路可简化为图5(d)电路。 由此可得iG: U OC RO ? RG ( ? R2 R1 ? R 2 ? R4 R3 ? R 4 )U S ( ( R 2 R 3 ? R1 R 4 )U S R1 R 2 ( R 3 ? R 4 ) ? R 3 R 4 ( R1 ? R 2 ) ? R G ( R1 ? R 2 )( R 3 ? R 4 ) R1 R 2 R1 ? R 2 ? R3 R 4 R3 ? R 4 ? RG ) iG ? ? 可见:当R2R3=R1R4时,iG=0,此时电桥处于平衡状态 [例2]图6所示电路,求通过R3的电 流i3。如果R3由5 Ω增加至10 Ω , 问电流变化多少? 解: (1)将a,b两端钮向左的 线性有源单口网络用戴维宁 等效电路代替 开路电压为 U OC ? U1 ?U 2 R1 ? R 2 R 2 ? U 2 ? 40 V 等效内阻为 RO ? R1 R 2 R1 ? R 2 ? 4? 2 4?2 ? 1 . 33 ? (2)端钮c,d向右的无源单口网络等效 内阻Rcd为 R cd ? ? R 4 ( R5 ? R6 ) R 4 ? R5 ? R 6 ? 5? 10 ? 10 10 ? 10 (3)因此,图6可化简为单回路电路, 如右图 i3 ? ? U oc R o ? R 3 ? R cd 40 ? 3 . 53 A 1 . 33 ? 5 ? 5 (4)由于R3的变化对有源单口网络和无源单口网络均无影响,因此, 当R3=10 Ω时,电流i3为 i3 ? 40 1 . 33 ? 5 ? 10 ? 2 . 45 A 所以当R3由5Ω增加到10 Ω时,电流i3减小了(3.53–2.45) =1.08A 二、等效电流源定理 内容:任何一个线性有源单口网络,就其外部的电压电流关系而言, 总可以等效为一个恒流源和一个内阻相并联的电路。恒流源的电流 值等于端口短路电流isc,等效内阻等于网络中全部独立电源为零时 端口的输入电阻RO。 说明:如图7的示意框图。 线性 有源 单口 网络 A i a + U – b i 任意 外部 网络 ics a + RO U – b 任意 外部 网络 图7 等效电流源定理的示意说明 证明:证明方法类似于等效电压源定理。但这时外部网络用US=U的 理想电压源等效代替,有源单口网络的端口电流i是由网络中所有独 立电源同时作用产生的电流分量i’与由恒压源US单独产生的电流分量 i”的线所示电路的等效电流 源模型。 解:(1)求网络短路电流iSC 图8 i SC ? U1 R1 ? i2 (2)求等效内阻RO R O ? R1 // R 2 ? R1 R 2 R1 ? R 2 (3)等效电流源模型 三、等效电源之间的转换 电压源于电流源之间可以等效互换。 方法:图9(a)是将电压源等效转换为电流源的方法。对左图的电压 源直接应用诺顿定理,就可以得到右图的电流源。 图9(a) 图9(b)是将电流源等效转换为电源的方法。 图9(b) [例4]将图10电路等效为电流源电路。 解:可先将两个串联支路等效为 电流源,然后就容易得到电路的 诺顿等效电路。过程如下图所示: 图 10 注意: 理想电压源和理想电流源串联的电路可等效为一理想电流源电路。这 可以利用叠加原理进行理解:当理想电压源单独作用时,由于理想电 流源内阻为∞,实际上将理想电压源与外电路断开了,只有理想电流 源单独作用才对外电路提供电流。 由此也可推知:理想电压源和理想电流源并联的电路可等效为一个 理想电压源。 习题: 1、如图题1所示单口网络,求其戴维宁等效电路。 2、如图题2所示电路中的i5和U1。 题1图 题2图 3、如图题3所示含独立电源的单口网络N,其断口ab间外接 一个电阻R。当R=10 Ω时,u=8V;当R=5 Ω时,u=6V,求网 络N的诺顿等效电路。 4、求图题4所示电路等效电压源模型 。 (a) (b) 题4图 题3图 5、求图题5所示电路的等效电流源模型。 (a) (b) 题5图 6、图题6所示为正弦稳态单口网络,已知U(t)=2sin(0.5t―150o)V,求 其戴维宁等效电路。 题6图

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